1、二重积分极坐标是什么呢?
极坐标系里的二重积分r是指极坐标的极径,表示平面坐标点到原点的距离。
在极坐标系下计算二重积分,需将被积函数f(x,y),积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f(x,y)的极坐标形式为f(rcosθ,rsinθ)。
极径上下限的判断:从原点引一条射线(射线角度在积分区域范围内)若在积分区域内交与两条曲线,则离原点较远(后交的曲线)的曲线则为上限,反之较远的为下限,若在积分区域内只交到一条曲线,则此条曲线为上限,下限为0,若在积分区域内没有相交的曲线,则上限为积分区域在x轴上的边界,下限为零。
当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积负值。
在空间直角坐标系中,二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和,在xoy平面上方的取正,在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f(x,y)的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知,可以用二重积分的几何意义的来计算。
2、极坐标下的二重积分是什么?
极坐标下的二重积分是 x^2+y^2,特别是含有它们的分数方次的情况。
例如以下两种情形通常的二重积分使用极坐标计算:
1、积分区域D与圆有关(可以是部分圆域,例如圆周与直线所围成的区域)。
2、被积函数f(x,y)中含有形如x²+y²,xy,y/x,x/y的式子。
若1、2同时满足,则必定要采用极坐标计算,但如果仅满足其中一个,特别是1不满足时,有时用直角坐标计算反而更方便。
二重积分几何意义:
在空间直角坐标系中,二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和,在xoy平面上方的取正,在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f(x,y)的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知,可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分,其中,表示的是以上半球面为顶,半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体,这个二重积分即为半球体的体积。
数值意义:
二重积分和定积分一样不是函数,而是一个数值。因此若一个连续函数f(x,y)内含有二重积分,对它进行二次积分,这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
如函数,其积分区域D是由所围成的区域。
其中二重积分是一个常数,不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。
故这个函数的具体表达式为:f(x,y)=xy+1/8,等式的右边就是二重积分数值为A,而等式最左边根据性质5,可化为常数A乘上积分区域的面积1/3,将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。
3、二重积分计算(极坐标形式)
极坐标下的二重积分计算法
极坐标系下,直线x=1的方程是ρcosθ=1,即ρ=1/cosθ。射线y=x的方程是θ=π/4。
确定θ的取值范围:积分区域夹在射线θ=0与θ=π/4之间,所以θ的取值范围是 0≤θ≤π/4。
确定ρ的取值范围:从极点作射线与直线ρ=1/cosθ相交,所以ρ的取值范围是 0≤ρ≤1/cosθ。
所以,二重积分在极坐标系下表示为:∫0~π/4 dθ ∫0~1/cosθ f(ρcosθ,ρsinθ) ρdρ
4、二重积分极坐标是什么?
极坐标系里的二重积分r是指极坐标的极径,表示平面坐标点到原点的距离。
在极坐标系下计算二重积分,需将被积函数f(x,y),积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f(x,y)的极坐标形式为f(rcosθ,rsinθ)。
二重积分注意:
如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界,那么点a称为函数f(x)的瑕点(无界间断点)。无界函数的反常积分也称作瑕积分。与定积分的联系:在计算定积分时,需要注意在积分区间内是否存在瑕点。若存在,拆分区间段。
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