次根式 篇一
一、教学目标
1.掌握二次根式的混合运算。
2.掌握混合运算的应用。
3.通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力。
4.通过混合运算知识拓展，培养学生的探索精神
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1.教学重点：二次根式的混合运算。
2.教学难点：混合运算的应用。
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主
七、教学过程
【例题】
例1 化简：
（1） ； （2） .
解：（1）
.
（2）
.
说明：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项（第2小题）达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可变换相邻项的位置，如 ，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把 先变为 ，这样 则为1，继续运算可避免错误。
例2 解下列方程（组）：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
.
（2）①× ，得
③
②× ，得
④
③－④，得
把 代入①，得
解得 .
∴ 是原方程组的解。
（3）由②，得
③
①× ，得
④
③－④，得
把 代入①，得
.
∴ 是原方程组的解。
例3 已知 ， ，求 的值。
解： .
.
， ，
∴ .
例4 已知 ， ，求 的值。
解： ， .
.
（二）随堂练习
1.教材中P206中8.
2.解不等式： .
解：
∴ .
3.已知 ， ，求 的值。
解：3. ，或 .
.
∴
.
4.已知 ， ，求： 的值。
解 4.
.
5.已知 ，求 的值。
解 5. .
.
6.不求方根的值比较 与 的大小。
解 6.∵
∴
∴
（三）总结、扩展
根据已知条件，求一个代数的值，要注意条件或代数式的化简，有时条件和要求的代数式都需要化简，当把条件化简后，代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简。
（四）布置作业
教材中P207B组1、3和补充作业.
补充作业：
1.已知 ，求 的值。
2.已知 ， ，求 的值。
（五）板书设计
标 题
1.例题…… 3.例题……
2.练习题 4.练习题
八、背景知识与课外阅读
二次根式的混和运算方法和顺序
1.方法 （1）应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则。
（2）在实数范围内运算律仍适用。
（3）二次根式的乘法，与多项式的乘法相类似，遇运用多项式乘法公式时，也可以运用乘法公式。
2.顺序 先乘方、后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的数。
次根式 篇二
一、教学过程
(一)复习提问
1.什么叫二次根式？
2.下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数。
(二)二次根式的简单性质
上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质
我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：
这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？
请分析：引导学生答如 时才成立。
时才成立，即a取任意实数时都成立。
我们知道
如果我们把 ，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了。
例1 计算：
分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式 。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质。结合第（2）小题中的 ，说明 ，这与带分数 。因此，以后遇到 ，应写成 ，而不宜写成 。
例2 把下列非负数写成一个数的平方的形式：
(1)5； (2)11； (3)1.6； (4)0.35.
例3 把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：
(1)4x2-1； (2)a4-9；
(3)3a2-10； (4)a4-6a2+9.
解：(1)4x2-1
=(2x)2-12
=(2x+1)(2x-1).
(2)a4-9
=(a2)2-32
=(a2+3)(a2-3)
(3)3a2-10
(4)a4-6a2+32
=(a2)2-6a2+32
=(a2-3)2
(三)小结
1.继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题。
2.关于公式 的应用。
(1)经常用于乘法的运算中。
(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题。
(四)练习和作业
练习：
1.填空
注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0.
2.实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：
分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜.
3.计算
二、作业
教材P.172习题11.1；A组2、3；B组2.
补充作业：
下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？
分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：
(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，
但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，
∴ ｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b.
(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0
∴ (m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，
∴ m-n≤0，即m≤n.
说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式。通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念。
三、板书设计
次根式 篇三
一、教学目标
1.了解的意义；
2. 掌握用简单的一元一次不等式解决中字母的取值问题；
3. 掌握的性质 和 ，并能灵活应用；
4.通过的计算培养学生的逻辑思维能力；
5. 通过性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美。
二、教学重点和难点
重点：(1)二次根的意义；(2)中字母的取值范围。
难点：确定中字母的取值范围。
三、教学方法
启发式、讲练结合。
四、教学过程
(一)复习提问
1.什么叫平方根、算术平方根？
2.说出下列各式的意义，并计算：
， ， ， ， ， ， ，
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念。
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中 ，
， ， ， 表示的是算术平方根。
(二)引入新课
我们已遇到的 ， ， ，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：
新课：
定义： 式子 叫做。
对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子 只有在条件a≥0时才叫， 是吗？ 呢？
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分。
（2） 是，而 ，提问学生：2是吗？显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的“外在形态”。请学生举出几个的例子，并说明为什么是。下面例题根据定义，由学生分析、回答。
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是？
分析： ， ， ， 、 、 、 四个是。 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此， 与 不是。
例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义？
解：略。
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义。
例3 当字母取何值时，下列各式为：
（1） (2) (3) (4)
分析：由的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式。
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时， 是。
（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时， 是。
（3） ，且x≠0，∴x＞0，当x＞0时， 是。
（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时， 是。
例4 下列各式是，求式子中的字母所满足的条件：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
分析：这个例题根据定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固的定义，.即： 只有在条件a≥0时才叫，本题已知各式都为，故要求各式中的被开方数都大于等于零。
解：（1）由2a+3≥0，得 .
（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是 ，式子 是。 所以所求字母x的取值范围是全体实数。
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
1.式子 叫做，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式。
2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
(四)练习和作业
练习：
1.判断下列各式是否是
分析：（2） 中， ， 是；（5）是。 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是，（6）无意义。
2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
五、作业
教材p.172习题11.1；a组1；b组1.
六、板书设计
次根式 篇四
教学建议
知识结构
.
重难点分析
本节的重点是 的化简。本章自始至终围绕着与计算进行，而 的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论。
本节的难点是正确理解与应用公式
.
这个公式的表达形式对学生来说，比较生疏，而实际运用时，则要牵涉到对字母取值范围的讨论，学生往往容易出现错误。
教法建议
1.性质的引入方法很多，以下2种比较常用：
（1）设计问题引导启发：由设计的问题
1） 、 、 各等于什么？
2） 、 、 各等于什么？
启发、引导学生猜想出
（2）从算术平方根的意义引入。
2.性质的巩固有两个方面需要注意：
（1）注意与性质 进行对比，可出几道类型不同的题进行比较；
（2）学生初次接触这种形式的表示方式，在教学时要注意细分层次加以巩固，如单个数字，单个字母，单项式，可进行因式分解的多项式，等等。
（第1课时）
一、教学目标
1.掌握二次根式的性质
2.能够利用二次根式的性质化简二次根式
3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法
二、教学设计
对比、归纳、总结
三、重点和难点
1.重点：理解并掌握二次根式的性质
2.难点：理解式子 中的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式。
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主
七、教学过程
一、导入新课
我们知道，式子 （ ）表示非负数 的算术平方根。
问：式子 的意义是什么？被开方数中的 表示的是什么数？
答：式子 表示非负数 的算术平方根，即 ，且 ，从而 可以取任意实数。
二、新课
计算下列各题，并回答以下问题：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）
（7） ； （8）
1.各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？
2.各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？
3.用字母 表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论。
答：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）
（7） ； （8） .
1.（1），（2），（3）各题中的被开方数的幂的底数都是正数；（4），（5），（6），（7）各题中的被开方数的幂的底数都是负数；（8）题被开方数的幂的底数是0.
2.（1），（2），（3），（8）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等；（4），（5），（6），（7）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数。
3.用字母 表示（1），（2），（3），（8）各题中被开方数的幂的底数，有
（ ），
用字母 表示（4），（5），（6），（7）各题中被开方数的幂的底数，有
（ ）.
一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数。
问：请把上述讨论结论，用一个式子表示。（注意表示条件和结论）
答：
请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系？
答：
填空：
1.当 _________时， ；
2.当 时， ，当 时， ；
3.若 ，则 ________；
4.当 时， .
答：
1.当 时， ；
2.当 时， ，
当 时， ；
3.若 ，则 ；
4.当 时， .
例1 化简 （ ）.
分析：可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简。
解 ，因为 ，所以 ，所以
.
指出：在化简和运算过程中，把 先写成 ，再根据已知条件中 的取值范围，确定其结果。
例2 化简 （ ）.
分析：根据二次根式的性质，当 时， .
解 .
例3 化简：（1） （ ）； （2） （ ）.
分析：根据二次根式的性质，当 时， .
解 （1） .
（2） .
注意：（1）题中的被开方数 ，因为 ，所以 .
（2）题中的被开方数 ，因为 ，所以 .
这里 的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出。
例4 化简 .
分析：根据二次根式的性质，有
.
所以要比较 与3及1与 的大小以确定 及 的符号，然后再进行化简。
解 因为 ， ，所以
， .
所以
.
三、课堂练习
1.求下列各式的值：
（1） ； （2） .
2.化简：
（1） ； （2） ；
（3） （ ）； （4） （ ）.
3.化简：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） （ ）.
答案：
1.（1）0.1； （2） .
2.（1） ； （2） ； （3） ； （4） .
3.（1）4； （2）1.5； （3）0.09； （4）－1； （5）4； （6）－1.
四、小结
1.二次根式 的意义是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意实数。
2.化简形如 的二次根式，首先可把 写成 的形式，再根据已知条件中字母 的取值范围，确定其结果。
3.在化简中，注意运用题设中的隐含条件，如二次根式 有意义的条件是被开方 ，这是隐含条件。
五、作业
1.化简：
（1） ； （2） ；
（3） （ ）； （4） （ ）；
（5） ； （6） （ ， ）；
（7） （ ）.
2.化简：
（1） ；
（2） （ ）；
（3） （ ， ）.
答案：
1.（1）－30； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ； （7） .
2.（1）2； （2）0； （3） .
次根式 篇五
（第1课时）
一、教学目标
1.掌握二次根式的性质
2.能够利用二次根式的性质化简二次根式
3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法
二、教学设计
对比、归纳、总结
三、重点和难点
1.重点：理解并掌握二次根式的性质
2.难点：理解式子 中的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式。
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主
七、教学步骤
（一）教学过程
【复习引入】
1.求值 、 、 、 …
求值 、 、 、 …
结论：当 时， ；
当 时， .
2.求值 、 …
结论：当 时，式子有意义， ，对于 ， 不能为负数。
3.求值 、 …
结论：当 时， .
问：若根号内这个式子中的底数 ，根式还有意义吗？其值等于什么？
例如， ，其中－2与2互为相反数； ，其中－3与3互为相反数； ，其中 与 互为相反数。
【讲解新课】
提出问题： 等于什么？引导学生讨论、猜测、联想，得到结论：
教师可结合学生的具体情况，将上面公式用最简练的语句表达，并反复提问中差学生，加深其印象，进一步提问：若 时， 能否等于 ，以增强学生的辨别能力，加强学生对公式的理解和记忆。
例1 化简：
（1） ； （2） .
解：（略）.
注： 可看作 ，把 先写为 ；
可看作 ，把 先写为 .
例2 化简： .
分析：底数 是非负数还是负数将直接影响结果，这时要注意条件，由条件 ，可得 .
∴ .
解：（略）.
例3 化简下列各式：
（1） （ ）； （2） （ ）；
（3） （ ）； （4） （ ）.
解：（1）∵
∴ .
∴
.
（2）∵
∴ ，即 .
∴
.
（3）∵
∴ ，即 .
∴
.
（4）∵ ，
∵ ，即 .
∴ .
注：要从条件出发，判断根号下面式子的底数是非负数还是负数，再根据公式 计算出结果，因此在解题过程中，也是先写出条件，后进行变形，判断底数的正、负。
在写解题步骤上，尽量完整，以减少失误，并训练学生的逻辑思维能力。
（二）随堂练习
1.求值：
（1） ；（2） ；（3） （ ）；
（4） ；（5） .
解：（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
（5） .
注： ，学生易与 相混淆。
2.化简：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （ ）； （5） （ ）.
解：（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
（5） .
（三）总结、扩展
对公式 ，一定要在理解在基础上牢固掌握，要准确地运用公式进行二次根式的化简，关键是对根号内式子的底数的判断。
（四）布置作业
教材P213中1（2）、（3）；2（1）、（2）.
（五）板书设计
标 题
1.复习题 4.练习题
2.公式
3.例题
次根式 篇六
一、教学目标
1.了解二次根式的意义；
2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；
3. 掌握二次根式的性质 和 ，并能灵活应用；
4.通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力；
5. 通过二次根式性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美。
二、教学重点和难点
重点：(1)二次根的意义；(2)二次根式中字母的取值范围。
难点：确定二次根式中字母的取值范围。
三、教学方法
启发式、讲练结合。
四、教学过程
(一)复习提问
1.什么叫平方根、算术平方根？
2.说出下列各式的意义，并计算：
， ， ， ， ， ， ，
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念。
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中 ，
， ， ， 表示的是算术平方根。
(二)引入新课
我们已遇到的 ， ， ，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：
新课：二次根式
定义： 式子 叫做二次根式。
对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式， 是二次根式吗？ 呢？
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分。
（2） 是二次根式，而 ，提问学生：2是二次根式吗？显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的“外在形态”。请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式。下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答。
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
分析： ， ， ， 、 、 、 四个是二次根式。 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0），因此， 与 不是二次根式。
例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义？
解：略。
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义。
例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：
（1） (2) (3) (4)
分析：由二次根式的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式。
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时， 是二次根式。
（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时， 是二次根式。
（3） ，且x≠0，∴x＞0，当x＞0时， 是二次根式。
（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时， 是二次根式。
例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即： 只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零。
解：（1）由2a+3≥0，得 .
（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是 ，式子 是二次根式。 所以所求字母x的取值范围是全体实数。
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
1.式子 叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式。
2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
(四)练习和作业
练习：
1.判断下列各式是否是二次根式
分析：（2） 中， ， 是二次根式；（5）是二次根式。 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是二次根式，（6）无意义。
2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
五、作业
教材p.172习题11.1；a组1；b组1.
六、板书设计
它山之石可以攻玉，以上就是为大家带来的6篇《二次根式》，能够帮助到您，是最开心的事情。